[工程数学]8 傅立叶变换

Steven-Zhl 头像
[工程数学]8 傅立叶变换

这一章完全跟不上….QAQ

8.0 前置知识

这章有些难以理解，因为这章是建立在很多前置知识之上的，前置知识在这一节记录

8.0.1 简谐波的基本概念

\[x(t)=A\cos{(\omega_0 t+\phi)}\]
  • 其中：
    • $x(t)$是振幅随时间变化的函数，也就是波的实际高度；
    • $A$是振幅，表示波的最大偏离；
    • $\omega$是角频率，表示单位时间内的变化率；
    • $t$是时间；
    • $\phi$是相位角，表示波在$t=0$时的相位。

8.0.2 正交函数系

8.0.3 狄利克雷条件

  • 连续或只有有限个第一类间断点

    第一类间断点：如果一个函数在某点$c$的左极限和右极限都存在，但不相等，那么称函数在点$c$处有一个第一类间断点。

    例如对于阶梯函数，阶跃点就是个第一类间断点

  • 只有有限个极值点

8.0.4 欧拉公式

\[e^{\text{i}\theta}=\cos{(\theta)}+\text{i}\sin{(\theta)}\]
  • 其中：
    • $e$是自然对数
    • $\text{i}$是虚数单位
    • $\theta$是弧度制的角度

8.1 傅立叶变换的概念

8.1.1 Fourier级数

  • Fourier级数的三角形式（定理8.1）
    • 设$f_T(t)$是以$T$为周期的实值函数，且在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上满足狄利克雷条件，则在$f_T(t)$的连续点有
\[f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum^{+\inf}_{n=1}(a_n \cos{n\omega_0 t+b_n\sin{n\omega_0 t}})\]
  • Fourier级数的指数形式
  • 根据欧拉公式的推导，可知$\cos{n\omega_0 t}=\frac{1}{2}(e^{\text{j}n\omega_0 t}+e^{-\text{j}n\omega_0t})$，$\sin{n\omega_0 t}=\frac{\text{j}}{2}(e^{-\text{j}n\omega_0 t}-e^{\text{j}n\omega_0t})$，代入三角形式得到
\[f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum^{+\inf}_{n=1}\left(\text{todo}\right)\]

TODO

8.1.2 非周期函数的傅立叶变换

2. Fourier积分公式

E8.1 函数$f(t)=\text{sgn} t$的傅里叶变换是 $\frac{2}{j\omega}$

本题答案为$\frac{2}{j\omega}$，以下是根据$f(\omega)=\frac{2}{j\omega}$倒推的计算过程

\[f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{2}{j\omega}e^{j\omega t}\text{d}\omega\] \[=\frac{1}{\pi}\frac{j\sin{\omega t}}{j\omega}\text{d}\omega+\frac{1}{\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\cos{\omega t}}{j\omega}\text{d}\omega\] \[=\frac{1}{\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin{\omega t}}{\omega}\text{d}\omega=\begin{cases} 1, & t>0 \\ 0, & t=0 \\ -1, & t<0 \end{cases}\]

E8.2 $\delta(t)$的傅里叶变换对$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\text{d}t=$ 1

本题答案为1

  • 单位冲激函数$\delta(t)$满足：
    1. 当$t\not ={0}$时，$\delta(t)=0$
    2. $\int^{+\infty}_{-\infty}\delta(t)\text{d}t=1$

E8.3级数$\left[\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{i^n}{n}\right]$是否收敛？ 收敛且条件收敛

本题答案为收敛且条件收敛

E8.4求积分$\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2\omega}{\omega^2}\text{d}\omega$的值

以下是计算过程

\[\text{设矩形脉冲函数}f(t)=\begin{cases} 1, & \vert t \vert \leq 1 \\ 0, & \vert t \vert > 1 \end{cases}\] \[\text{已知}f(t)\text{的频谱为}F(\omega)=\frac{2\sin{\omega}}{\omega}\] \[\text{由Parserval等式有}\int_{-\infty}^{+\infty}\vert F(\omega)\vert^2\text{d}\omega=2\pi\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(t)\text{d}t\] \[\Rightarrow\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{4\sin^2{\omega}}{\omega^2}\text{d}\omega=2\pi\int_{-1}^1 1^2\text{d}t=4\pi\] \[\text{故有}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin^2{\omega}}{\omega^2}\text{d}\omega=\pi\] \[\text{由于被积函数为偶函数，故有}\int^{+\infty}_{0}\frac{\sin^2{\omega}}{\omega^2}\text{d}\omega=\frac{\pi}{2}\]

E8.5求$f(t)=\cos{t}\sin{t}$的傅氏变换

以下是计算过程

\[\mathscr{F}[\sin{\omega_0t}]=j\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]\] \[\text{由}f(t)=\cos{t}\sin{t}=\frac{1}{2}\sin{2}t,\text{有}\] \[\mathscr{F}[f(t)]=\frac{j\pi}{2}[\delta(\omega+2)-\delta(\omega-2)]\]