Steven's Blog

[工程数学]2 解析函数

明天考试，今天才复习，属实难蚌（我锐评我自己）

2023-11-14 19:00 Steven-Zhl

复变函数第二章，整体还不是很难，大致属于为了之后的积分做准备的篇章

如果你只是为了考试而来的，可以直接看例题。不保证能照顾到所有考点，但应该包括了大部分，应对考试还是没问题的

2.1 解析函数

其实学到现在，我感觉实变函数和复变函数最大的区别就是把参量从$x,y$变成了$z$，然后注意一下这个$z$有时候是$x+\text{i}y$，有时候是$u+\text{i}v$

2.1.1 导数与微分

• 可导（定义）：(熟悉的极限定义)设函数$w=f(z)$在$z_0$的某邻域内有定义，$z_0+\Delta z$是$z_0$邻域内的任意一点，若$\lim\limits_{\Delta{z}\rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta{z}\rightarrow 0}\frac{f(z_0+\Delta{z})-f(z_0)}{\Delta{z}}$存在有限的极限值，则$f(z)$在$z_0$处可导，$A$为$f(z)$在$z_0$处的导数
• 可微：就是可畏对一个函数进行微分运算可以进行微分运算。具体来说，可微要求导数存在且连续，而可导根据微分形式的定义又要求可微，所以可知$\text{可微}\leftrightarrows\text{可导}$，但由于连续不一定可导(比如在$f(x)=\vert x \vert$的分界处，两段函数接了起来，符合连续，但此处从左右两方向求导时导数值并不相等，并不可导)

• 求导法则(和实变函数一致)
  • $[f(z)\pm g(z)]’=f’(z)\pm g’(z)$
  • $[f(z)g(z)]’=f’(z)g(z)+f(z)g’(z)$
  • $[\frac{f(z)}{g(z)}]’=\frac{f’(z)g(z)-f(z)g’(z)}{[g(z)]^2}$

2.1.2 解析函数

解析函数？这是个新东西啊，介似嘛？

• 解析：若函数$f(z)$在点$z_0$/区域$D$及其邻域处处可导，则称$f(z)$在$z_0$/$D$上解析，或称$f(z)$是$z_0$处/$D$区域内的解析函数。
  • 若$f(z)$在$z_0$处不解析，则$z_0$为$f(z)$的奇点
  • 注意，包括邻域以及处处可导这两点是判断的关键，后面会有几个例题从这个角度拷打。

2.1.3 [重点]柯西-黎曼方程(C-R方程)

这应该算是本节最重要的知识点：证明某函数可导/解析的充要条件

• [定理2.1]函数$f(z)$在$z_0=x_0+\text{i}y_0$处可导的充要条件是：
  1. $u(x,y)$和$v(x,y)$在$z_0$处可微
  2. 满足柯西-黎曼方程($C-R$方程)
• [定理2.2]函数$w=f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$在区域$D$内解析的充要条件是：
  1. $u(x,y)$和$v(x,y)$在区域$D$内处处可微(注意这点很重要，只在某个点可微不算解析)
  2. 满足柯西-黎曼方程($C-R$方程)

闵老师教这个的时候说可以结合二阶矩阵的运算来比较着记：

\[\left\vert \begin{matrix} \frac{\partial{u}}{\partial{x}} & \frac{\partial{u}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{v}}{\partial{x}} &\frac{\partial{v}}{\partial{y}} \\ \end{matrix} \right\vert\]

主对角线正号，也就是式①，副对角线符号，也就是式②，这个记法有点意思

2.2 解析函数与调和函数的关系

2.2.1 调和函数

介又似嘛儿呢？

• 调和函数（定义）：若二元实函数$\varphi(x,y)$在区域$D$内有连续二阶偏导数，且满足拉普拉斯方程：$\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{y^2}}=0$，则称$\varphi(x,y)$为区域$D$内的调和函数

问了问ChatGPT，似乎这个调和函数很重要，但似乎除了解析函数，其他领域的作用我们都还学不到…

• [定理2.3]若函数$f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$在区域$D$内解析，则$u(x,y),v(x,y)$在区域$D$内都是调和函数

  $f(z)=u+\text{i}v$满足$C-R$方程，其实就等价于$u,v$都满足拉普拉斯方程，其实就是$C-R$方程的变形，你可以自己算一算为什么。

2.2.2 共轭调和函数

在调和函数的基础上复杂了一点点

• 定义：若函数$u(x,y)$和$v(x,y)$均为区域$D$内的调和函数，且满足$C-R$方程，则称$v$是$u$的共轭调和函数

  注意，这个说法，顺序不能反过来，原因嘛….你自己脑补一下$C-R$方程中$u,v$互换一下就知道了

• [定理2.4]函数$f(z)=u+\text{i}v$在区域$D$内解析的充要条件是：在区域$D$内，$v$是$u$的共轭调和函数

  咱们可以思考一下这为什么是充要条件：

  • 共轭调和意味着$u$和$v$都满足拉普拉斯方程，即$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$，$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0$，这就是$C-R$方程的变形；同时$u,v$的二阶导都是有意义的，说明$u$和$v$都是可微的，满足了解析；
  • 反过来，解析可知$u,v$都满足$C-R$方程，即$u’_x=v’_y,u’_y=-v’_x$，同时$u,v$都是可微的，二者结合可以导出来拉普拉斯方程，因此充要得证。

• 现在，咱们可以得出以下的一张比较恐怖的关系图，箭头上有文字的表示“该条件和目标条件共同构成充要条件”

2.2.3 构造解析函数

说了大半天，构造解析函数才是学共轭调和函数的主要目的…至少目前是这样的

• 对于问题“已知实部$u$，求虚部$v$使得$f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$解析，且满足XXX”，这种题型就要构造出$f(z)$，而定理2.4就是个非常好的方法指导。E2.6就是相关的例题
• 这类题型的解题顺序有3~4步：
  1. 检查$u$是否为调和函数（假设给定的是$u$，注意这一点很重要，有步骤分的话这步肯定占一定分值的）
  2. （偏积分法）根据二者满足$C-R$方程，从$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}$的那个等式两边对$y$积分，得到$v$的一个大致的表达式
  3. （偏积分法-Step2）这个$v$的表达式对$x$求导，可以根据另一个$C-R$方程的等式消去一个未知数
  4. 根据额外条件再消去一个未知数，得到最终的$f(z)$表达式

     虽然是我自己写的，但我自己看这段话都觉得难懂。快去看例题E2.6吧

2.3 初等函数

坦白讲，这一节我没什么印象，应该不是考点。

严格来说，本节的函数应该都叫做“XX复变函数”，下文中省去了“复变”二字，知道即可。

2.3.1 指数函数

此处我们先引入一个著名的公式(其实在第一章已经见过了)：欧拉公式：$e^{\text{i}\theta}=\cos{\theta}+\text{i}\sin{\theta}$，或者我们可以直接用第一章的指数表示：$re^{\text{i}\theta}=r(\cos{\theta}+\text{i}\sin{\theta})$

• 定义：对于复数$z=x+\text{i}y$，称$w=e^x(\cos{y}+\text{i}\sin{x})$为指数函数，记为$w=e^z$
• 性质：
  • $e^z$是单值函数(单值函数就是单射，对于任一输入$z_0$，只能有一个输出$f(z_0)$，不存在一对多的情况，但事实上，我们讨论的函数默认就已经是单射了，这句话是个废话)
  • $e^z$除无穷远点外，处处有定义。
  • $e^z\not ={0}$，因为①:$e^x>0$；②:$\cos{y}+\text{i}\sin{y}\not ={0}$
  • $e^z$在复平面上处处解析，且$(e^z)’=e^z$（符合直觉）
• 为啥要用这个指数形式呢？当然是有用的。将指数形式和三角函数的奇偶性结合能构造出很多一个很有意义的公式：
  • $e^{\text{i}z}=\cos{z}+\text{i}\sin{z}$
  • $e^{\text{i}(-z)}=\cos{(-z)}+\text{i}\sin{(-z)}$，根据奇偶性可得$e^{-\text{i}z}=\cos{z}-\text{i}\sin{z}$
  • 此时可以看出来，$e^{\text{i}z}-e^{-\text{i}z}=2\text{i}\sin{z},e^{\text{i}z}+e^{-\text{i}z}=2\text{i}\cos{z}$，整理即可得任一复数的正弦/余弦的计算方法

2.3.2 对数函数

待续，我不想整理了，啥时候用到了再回来补充吧

总结

例题

E2.1 求下列函数的导数

相关知识点：可导的极限定义

(2) $f(z)=\frac{1}{z}$

E2.2 求函数$f(z)=\frac{z+3}{4z^2-1}$的解析区域及在该区域上的导数

题目一般，只要记住解析需要处处可导即可

E2.3 讨论函数的可导性和解析性

相关知识点：(定理2.2)解析的充要条件

(1) 讨论函数$w=\bar{z}z^2$的可导性与解析性

此时默认了$z=x+\text{i}y$

其实我一开始挺奇怪，为啥处处不解析呢？因为解析的条件是包括邻域+处处可导，而该题中只在$(0,0)$点可导，没有任何一个邻域可导，所以即使是$(0,0)$点也是不解析的，这里要注意邻域需是一个有面积的区域。

(2) 讨论函数$f(z)=x^2+\text{i}y^2$的可导性和解析性

和上面那个题的情况类似，这个题中也不满足“邻域处处可导”故而处处不解析，邻域要有一定的面积，不能是这么一条线。

(3) 下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？

现在我已经完全明白了：可导等价于满足C-R方程，而解析等价于满足C-R方程且处处可导，或者共轭调和

• 根据C-R方程知：当且仅当$x=y=0$的情况下满足$u_x=v_y,u_y=-v_x$。
• 故$f(z)$在$z=0$处可导，$f’(0)=0$，处处不解析。

E2.4 解析+一个给定条件，证明一些东西

说真的，看完题解后我对于这类题没啥特别好的通用思路，只有俩想法:

1. 第一步先把$C-R$方程摆出来
2. 从给定条件里找关系列条件，然后想办法转化为偏导(因为$C-R$方程就是偏导条件，要结合起来做代换化简)

设函数$f(z)=u+\text{i}v$在某区域$D$内解析，且满足下列条件之一，证明：$f(z)$在区域$D$内为常数。

(1) $\overline{f(z)}$在$D$内解析； (2) $\vert f(z)\vert$在$D$内为常数。

• (1)

• (2)

若函数$f(z)$在区域$D$内解析，并满足$v=u^2$，试证:$f(z)$必为常数

E2.5 一个特殊的题

相关知识点：若两个函数解析，则他们的四则运算结果也解析

设函数$f(z)=u+\text{i}v_1$和$g(z)=u+\text{i}v_2$均在某区域$D$内解析，证明：$v_1(x,y)=v_2(x,y)+c$，其中$c$为常数

E2.6 构造解析函数

相关知识点：定理2.4

• 验证$u(x,y)=x^3-3xy^2$为调和函数，并求以$u(x,y)$为实部的解析函数$f(z)$，使得$f(z)=-\text{i}$

• (1) 验证调和函数：直接按照拉普拉斯方程计算即可

• (2) 构造解析函数

E2.7 求$\cos\text{i}$的值

知识点：欧拉公式的应用